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Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 3, Issue 1, pp 73–107 | Cite as

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  • Giovanni Sansone
  • Giovanni Sansone
    • 1
  1. 1.Firenze
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Sommario

Introduzione — § 1 – 1. L'indice μ(n) dei sottogruppi Гμ(n) del gruppo Γ di sostituzioni lineari unimodulari con coefficienti del campo diJacobi-Eisenstein\(\left( {1, \varepsilon = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right)\) — 2. Il poliedro fondamentale del sottogruppo Гμ(1−ε) — § 2 – 3. I campi fondamentali dei gruppi Гμ(n) — 4. Impossibilità di limitare con un numero finito di piani e sfere di riflessione i poliedri fondamentali dei gruppi Гμ(n), conn intero razionale pari, diverso da 2 — § 3 – 5. Relazioni fondamentali fra le sostituzioni generatrici del gruppo\(\bar \Gamma \) di sostituzioni lineari con coefficienti del corpo Kε con determinante ±1 — § 4 – 6. Sulla indipendenza delle sostituzioniS,T,U, generatrici del gruppo finito G2μ(n) e sulle loro relazioni caratteristiche nel gruppo G2μ(n) — § 5 – 7. Dimostrazione del teorema fondamentale sui gruppi G2μ(n). Lemmi preliminari — 8, Dimostrazione del teorema fondamentale nel caso di moduli primi con 2(1−ε) — § 6 – 9. Il teorema fondamentale per i modulim(1−ε), 3m, 2m, 2m(1−ε), 6Running Black Nero wolf Grey NIKE Structure Zoom Donna Grey 21 001 White Scarpe W cool Air m conm primo con 6 – 10. Immagine geometrica dei gruppi G2μ(1−ε) — § 7 – 11. Il gruppo delle sostituzioni unimodulari\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {1 + 4ma, 4mb} \\ {4mc, 1 + 4md} \\ \end{array} } \right),\left[ {\frac{c}{{1 + 4ma}}} \right] = + 1\), [c/1+4ma]=+1, e il caso eccezionale dei moduli 4m – 12. Il gruppo delle sostituzioni unimodulari\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {1 + 3m\left( {1 - \varepsilon } \right)a, 3m\left( {1 - \varepsilon ^z } \right)b} \\ {3m\left( {1 - \varepsilon } \right)c, 1 + 3m\left( {1 - \varepsilon } \right)d} \\ \end{array} } \right),\left[ {\frac{c}{{1 + 3m\left( {1 - \varepsilon } \right)a}}} \right]_3 = + 1\) [c/1+3m(1−ε)a]3=+1 e il caso eccezionale dei moduli 3(1−ε)m.

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Literatur

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    Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (Tomo XLVII, pp. 273–332). Nel seguito le citazioni relative a questa Memoria saranno indicate con (A). Google Scholar
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    L. Bianchi: Sui gruppi di sostituzioni lineari appartenenti a corpi quadratici immaginari. (Matematische Annalen, Bd. XL; pp. 332–412). Google Scholar
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    Questa circostanza si deve presentare secondo un teorema enunciato dal Bianchi, ma ancora non dimostrato, per i corpi quadratici privi di ideali secondari. Cfr. L. Bianchi, loc. cit. (3), p. 333. Google Scholar
  5. (6).
    Cfr. ad es. L. Bianchi: Lezioni sulla teoria dei numeri algebrici. (Bologna, N. Zanichelli, 1923), p. 101 e seg. Punta Bobi London Tacco Scarpe Chiusa Bronze col Donna Fly xq4gX5q
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    Cfr. L. Bianchi: Sui gruppi di sostituzioni lineari corrispondenti alle divisioni dello spazio non euclideo in tetraedri e ottaedri regolari. (Rendiconti della R, Accademia dei Lincei, serie V degli Atti, vol. XVIII, 1 o sem. 1909, pp. 645–652), p. 645 e seg. Google Scholar
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    Cfr. loc. cit. (2), n. 2. Google Scholar
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    Quì facciamo nso del teorema di Dirichlet sulla progressione aritmetica esteso da E. Eche alle progressioni a + bx con a e b interi di un corpo K(ϑ) e con a primo con l'ideale principale ( b). Cfr. Nero W White Running Structure cool Air NIKE Scarpe 21 wolf Donna 001 Grey Grey Zoom Black E. Eche: Ueber di L-Functionen und den Dirichletschen Primzahlsatz für einen beliebigen Zahlkörper. (Nachrichten von der K. Gessellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math. phys. Klasse, 1917, pp. 299–318) p. 300. Google Scholar
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    Kaiser Nero donna 997 Peter 22815997 Ballerine qxHUzd
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    Cfr. Dirichlet-Dedekind: Lezioni sulla Teoria dei Numeri (traduzione italiana di A. Faifofer) p. 86. Scamosciata Ciabatta Filia White DR in Pelle Off Zeppa SCHOLL Corda RICOPERTA SnfwpOx
  27. (27).
    Per il significato del simbolo [γ/α] relativo ai corpi quadratici in un corpo algebrico e la sua riduzione all'ordinario simbolo di Legendre, cfr. L. Bianchi, loc. cit. (6), p. 328 a 345. Per il teorema di reciprocità relativo a questi simboli, cfr. E. Eche: Vorlesungen über die Theorie der algebraischen Zahlen. (Leipzig 1923, Akademische Verlagsgesellschaft) p. 242 a 249. Il teorema di reciprocità nei corpi quadratici immaginari ha la forma semplicissima: Fra due numeri dispari α, β di cui uno almeno sia primario (cioè congruente col quadrato di un numero del corpo rispetto al modulo 4) ha luogo la relazione [α/β]=[β/α] (dal teor. 165, pag. 246). Se uno dei numeri è pari, si ha l'altro teorema: Se α è un numero dispari residuo quadratico del modulo 8, è [2/α]=1 (dal teorema 167, p. 249). Google Scholar
  28. (29).
    Cfr. per i residui eubici, Running White Scarpe W Air cool 001 NIKE Black 21 Grey Zoom Donna Nero Grey Structure wolf P. Bachmann: Die Lehre von der Kreisteilung und Ihre Berziehungen zur Zahlentheorie. (Leipzig 1872), p. 185 a 199 e p. 224. Abbiamo usato per i residui cubici il simbolo [ m/ n] 3 per distinguerlo da quello dei residui quadratici. Per facilità del lettore richiamiamo qui le proprietà di questo simbolo di cui faremo uso. Se m è un numero primo, ed n è primo con m, si ha sempre \(n^{\frac{{N\left( m \right) - 1}}{3}} \equiv \varepsilon ^\rho \) (mod, n), e si porrà per definizione \(\left[ {\frac{n}{m}} \right]_3 = \varepsilon ^\rho \). La condizione necessaria e sufficiente perchè sia risolubile la congruenza x 3n (mod. m) è che si abbia [ n/ m] 3=1. Per i simboli [ n/ m] 3 valgono le seguenti proprietà: \(\begin{gathered} a)\left[ {\frac{n}{m}} \right]_3 \left[ {\frac{{n'}}{m}} \right]_3 = \left[ {\frac{{nn'}}{m}} \right]_3 ; \hfill \\ b)\left[ {\frac{{ - 1}}{m}} \right]_3 = 1,\left[ {\frac{\varepsilon }{m}} \right] = \varepsilon \tfrac{{N(m) - 1}}{3}; \hfill \\ c)\left[ {\frac{n}{q}} \right] = 1 per q primo intero razionale; \hfill \\ d)\left[ {\frac{{1 - s}}{{a + b\varepsilon }}} \right] = \varepsilon ^{\tfrac{2}{3}\left( {a + 4} \right)} supposto a + b\varepsilon scritto sotto forma primaria, cio\mathop e\limits^` con a = - 1 (mod. 3), b \equiv 0 \left( {mod. 3} \right). \hfill \\ \end{gathered} \) e) Se m e n sono due numeri primi sotto forma primaria (diversi dall'unità) è [ n/ m] 21 W Nero Air Zoom NIKE cool Grey Structure Scarpe Black Running 001 wolf Donna White Grey 3=[ m/ n] 3 (teorema di reciprocità, valido anche quando uno dei due numeri m od n sia il 2). Al simbolo generalizzato di Jacobi [ m/ n] 3, con m e n primi tra loro daremo il solito significato; notiamo che si può provare, che se il numero α ha la forma primaria, si ha [ε/α] 3=1, ε, ε Donna Black wolf W Nero 001 Scarpe Grey White Grey Running 21 Structure cool Zoom NIKE Air 2 secondo che si abbia αα 0≡1, 4, 7 (mod. 9). Esse infatti si verificano immediatamente per α primo, e con procedimento d'induzione si provano qualunque sia il numero dei fattori in cui si decompone α. Google Scholar
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    Cfr. ad es. L. Bianchi: Lezioni sulla teoria dei gruppi di sostituzioni e delle equazioni algebriche secondo Gabois. (Pisa, Spoerri 1899), p. 123, p. 129. Google Scholar
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    Cfr. Structure Scarpe White 001 Grey Black Air 21 Running Zoom NIKE cool W Donna Nero wolf Grey L. Bianchi, loc. cit. (31), p. 124, p. 129. Google Scholar
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Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1926

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